حل الدرس الأول: المجال الكهربائي | مادة الفيزياء الصف الثاني عشر

\n يعتمد التدفق الكهربائي عبر سطح مستوٍ يغمره مجال كهربائي منتظم وفق العلاقة \\(\\Phi = E A \\cos\\theta\\) على العوامل الآتية:\n

• مقدار المجال الكهربائي (\\(E\\)): يتناسب التدفق طردياً مع مقدار المجال.
\n
• مساحة السطح (\\(A\\)): يتناسب التدفق طردياً مع مساحة السطح التي تخترقها الخطوط.
\n
• الزاوية (\\(\\theta\\)): الزاوية المحصورة بين متجه المجال الكهربائي (\\(E\\)) ومتجه المساحة (\\(A\\)) العمودي على السطح نحو الخارج.
\n

\n

\n

\n
• الإشارة الموجبة (\\(\\Phi > 0\\)): تدل على أن خطوط المجال الكهربائي خارجة من السطح المغلق (الزاوية \\(\\theta < 90^\\circ\\)).
\n
• الإشارة السالبة (\\(\\Phi < 0\\)): تدل على أن خطوط المجال الكهربائي داخلة في السطح المغلق (الزاوية \\(\\theta > 90^\\circ\\)).
\n

\n

\n بناءً على قانون غاوس \\(\\Phi = \\frac{q_{in}}{\\varepsilon_0}\\):\n

\n
• أ. إزاحة الشحنة عن المركز: لا يتغير التدفق الكلي؛ لأن الشحنة الكلية المحتواة داخل السطح المغلق لم تتغير (\\(q_{in} = q\\)).
\n
• ب. مضاعفة الشحنة ثلاث مرات: يتضاعف التدفق الكلي ثلاث مرات (تصبح الشحنة \\(3q\\) فيصبح التدفق \\(3\\Phi\\))؛ لأن التدفق يتناسب طردياً مع الشحنة المحتواة.
\n
• جـ. مضاعفة نصف القطر مرتين: لا يتغير التدفق الكلي؛ لأن التدفق عبر سطح مغلق يعتمد فقط على الشحنة المحتواة داخل السطح ولا يعتمد على أبعاد السطح أو شكله.
\n
• د. استخدام مكعب بدلاً من الكرة: لا يتغير التدفق الكلي؛ لأن عدد خطوط المجال الكلي الخروج من المكعب يساوي العدد الخارج من الكرة ما دامت الشحنة المحتواة نفسها.
\n

\n

\n تتوزع الشحنات على السطح الخارجي للموصل لأن الشحنات المتماثلة تتنافر فيما بينها، وبما أن الشحنات حرة الحركة داخل الموصل الفلزي، فإنها تتباعد إلى أقصى مسافة ممكنة عن بعضها البعض للوصول إلى حالة الاتزان الكهرستاتيكي، مما يجبرها على الاستقرار على السطح الخارجي فقط.\n

\n الإثبات العلمي:\n

\n
1. نحسب المجال عند نقطة تقع داخل الموصل الكروي على بعد (\\(r < R\\)) من المركز بترسيم سطح غاوس كروي وهمي نصف قطره (\\(r\\)).
\n
2. نطبق قانون غاوس: \\(\\Phi = \\frac{q_{in}}{\\varepsilon_0}\\).
\n
3. بما أن الشحنات في الموصل تستقر بالكامل على السطح الخارجي (\\(r = R\\))، فإن الشحنة المحتواة داخل سطح غاوس الوهمي تساوي صفراً (\\(q_{in} = 0\\)).
\n
4. بالتالي: \\(E (4\\pi r^2) = 0 \\implies E = 0\\) عند أي نقطة داخل الكرة الموصلة.
\n

\n

\n يعتمد المجال خارج الموصل الكروي المشحون وفق العلاقة \\(E = \\frac{k Q}{r^2}\\) على:\n

\n
• مقدار شحنة الموصل الكروي (\\(Q\\)): تناسب طردي.
\n
• مربع بعد النقطة عن مركز الموصل الكروي (\\(r^2\\)): تناسب عكسي.
\n
• السماحية الكهربائية للوسط (\\(\\varepsilon_0\\)): المحيط بالكرة.
\n

\n

\n نعم، يمكن التوصل لِنفس النتيجة تماماً.\n
التوضيح:\n عند اختيار سطح غاوس مكعب مقطعه يقطع القشرة بمساحة (\\(A\\)):\n

\n
• يكون للوجهين الموازيين للقشرة مساحة كل منهما (\\(A\\))، ومتجه المساحة لهما يوازي اتجاه خطوط المجال (\\(\\theta = 0^\\circ\\))، فيكون التدفق عبر كل وجه منها يساوي (\\(E A\\)).
\n
• الأوجه الأربعة الجانبية تكون موازية لخطوط المجال (\\(\\theta = 90^\\circ\\))، فيكون التدفق عبرها صفراً.
\n
• التدفق الكلي عبر المكعب: \\(\\Phi_{net} = E A + E A = 2 E A\\).
\n
• الشحنة داخل المكعب: \\(q_{in} = \\sigma A\\).
\n
• بتطبيق قانون غاوس: \\(2 E A = \\frac{\\sigma A}{\\varepsilon_0} \\implies E = \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0}\\)، وهي نفس صيغة القشرة تماماً.
\n

\n

\n تكون خطوط المجال مستقيمة، متوازية، تفصل بينها مسافات متساوية، وعمودية على سطح القشرة وتنبع منها مبتعدة باتجاه الخارج على كلا جانبي القشرة في اتجاهين متعاكسين، مما يعبر عن مجال كهربائي منتظم ثابت المقدار والاتجاه على كل جانب.\n

\n نعتبر كل صفيحة كقشرة مستوية تولد مجالاً مقداره \\(E = \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0}\\).\n
في المنطقة بين الصفيحتين، يكون اتجاه المجال الناشئ عن الصفيحة الموجبة (مبتعداً عنها) والمجال الناشئ عن الصفيحة السالبة (متجهاً إليها) في نفس الاتجاه (من الموجبة إلى السالبة).\n
نجمع المجالين معاً:\n \\[ E_{net} = E_+ + E_- = \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0} + \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0} = \\frac{\\sigma}{\\varepsilon_0} \\]\n

\n

\n
• المعطيات: \\(r = 0.10\\text{ m}\\), \\(E = 2.0 \\times 10^3\\text{ N/C}\\), \\(\\theta = 30^\\circ\\).
\n
• حساب المساحة: \\(A = \\pi r^2 = \\pi (0.10)^2 = 0.0314\\text{ m}^2\\).
\n
• حساب التدفق:\n \\[ \\Phi = E A \\cos\\theta = (2.0 \\times 10^3) \\times 0.0314 \\times \\cos 30^\\circ \\]\n \\[ \\Phi = 2000 \\times 0.0314 \\times 0.866 = 54.4\\text{ N}\\cdot\\text{m}^2/\\text{C} \\approx 54\\text{ N}\\cdot\\text{m}^2/\\text{C} \\]\n
\n

\n

\n

\n
• القانون: التدفق الكهربائي يعتمد على الشحنات داخل السطح فقط (قانون غاوس).\n \\[ q_{in} = q_2 + q_3 = (+1.00 \\times 10^{-9}) + (-3.00 \\times 10^{-9}) = -2.00 \\times 10^{-9}\\text{ C} \\]\n
\n
• الحساب:\n \\[ \\Phi = \\frac{q_{in}}{\\varepsilon_0} = \\frac{-2.00 \\times 10^{-9}}{8.85 \\times 10^{-12}} = -2.26 \\times 10^2\\text{ N}\\cdot\\text{m}^2/\\text{C} \\]\n
\n
• المعنى الفيزيائي: الإشارة السالبة تعني أن عدد خطوط المجال الداخلي أسرع وأكبر من الخارجي.
\n

\n

\n

\n
• حساب المساحة: \\(L = 0.10\\text{ m} \\implies A = L^2 = (0.10)^2 = 0.01\\text{ m}^2\\).
\n
• تحديد الزاوية: الزاوية بين المجال وسُطح المربع هي \\(30^\\circ\\)، فتكون الزاوية مع العمودي على السطح (متجه المساحة): \\(\\theta = 90^\\circ - 30^\\circ = 60^\\circ\\).
\n
• تطبيق القانون:\n \\[ \\Phi = E A \\cos\\theta = 240 \\times 0.01 \\times \\cos 60^\\circ = 240 \\times 0.01 \\times 0.5 = 1.2\\text{ N}\\cdot\\text{m}^2/\\text{C} \\]\n
\n

\n

\n

\n
• أ. الإثبات:\n المجال خارج كرة كروية موصلة: \\(E = \\frac{1}{4\\pi \\varepsilon_0} \\frac{Q}{r^2}\\).\n
  نعوض الشحنة بدلالة الكثافة السطحية \\(Q = \\sigma A = \\sigma (4\\pi R^2)\\):\n \\[ E = \\frac{1}{4\\pi \\varepsilon_0} \\frac{\\sigma (4\\pi R^2)}{r^2} = \\frac{\\sigma R^2}{\\varepsilon_0 r^2} \\quad \\text{(وهو المطلوب)} \\]\n
\n
• ب. الحل العددي بالقرب من السطح (\\(r \\rightarrow R\\)):\n عندما تكون النقطة قريبة جداً من السطح يصبح \\(r \\approx R\\):\n \\[ E = \\frac{\\sigma}{\\varepsilon_0} = \\frac{3.1 \\times 10^{-7}}{8.85 \\times 10^{-12}} = 3.5 \\times 10^4\\text{ N/C} \\]\n
\n

\n

\n

\n
• المجال عند النقطة \\(a\\) (داخل الموصل):\n بما أن النقطة \\(a\\) داخل الكرة الموصلة المشحونة (\\(r_a < R\\))، فإن المجال يساوي صفراً مباشرة:\n \\[ E_a = 0 \\]\n
\n
• المجال عند النقطة \\(b\\) (خارج الموصل):\n بعد النقطة \\(b\\) عن مركز الكرة: \\(r_b = R + d = 10\\text{ cm} + 20\\text{ cm} = 30\\text{ cm} = 0.30\\text{ m}\\).\n \\[ E_b = \\frac{k |Q|}{r_b^2} = \\frac{(9 \\times 10^9) \\times (12 \\times 10^{-6})}{(0.30)^2} = \\frac{108 \\times 10^3}{0.09} = 1.2 \\times 10^6\\text{ N/C} \\]\n الاتجاه: نحو مركز الكرة (لأن الشحنة سالبة).\n
\n

\n

\n

\n
• عند النقطة \\(P_1\\) (\\(r_1 = 0.06\\text{ m}\\)):\n تكون الشحنة داخل سطح غاوس هي الشحنة المركزية فقط \\(q_{in} = q = +5e\\).\n \\[ E_1 = \\frac{k q}{r_1^2} = \\frac{(9 \\times 10^9) \\times (5 \\times 1.6 \\times 10^{-19})}{(0.06)^2} = \\frac{7.2 \\times 10^{-9}}{0.0036} = 2.0 \\times 10^{-6}\\text{ N/C} \\]\n الاتجاه: مبتعداً عن المركز (باتجاه الخارج).\n
\n
• عند النقطة \\(P_2\\) (\\(r_2 = 0.12\\text{ m}\\)):\n تكون الشحنة الكلية المحتواة داخل سطح غاوس: \\(q_{in} = Q + q = -16e + 5e = -11e\\).\n \\[ E_2 = \\frac{k |q_{in}|}{r_2^2} = \\frac{(9 \\times 10^9) \\times (11 \\times 1.6 \\times 10^{-19})}{(0.12)^2} = \\frac{1.584 \\times 10^{-8}}{0.0144} = 1.1 \\times 10^{-6}\\text{ N/C} \\]\n الاتجاه: متجهاً نحو المركز (باتجاه الداخل).\n
\n

\n

\n

\n
• عند النقطة \\(a\\) (بين الصفيحتين):\n \\[ E_a = \\frac{\\sigma}{\\varepsilon_0} = \\frac{3.54 \\times 10^{-7}}{8.85 \\times 10^{-12}} = 4.0 \\times 10^4\\text{ N/C} \\]\n الاتجاه: من الصفيحة الموجبة إلى الصفيحة السالبة.\n
\n
• عند النقطة \\(b\\) (خارج الصفيحتين):\n المجالان متساويان في المقدار ومتعاكسان في الاتجاه:\n \\[ E_b = E_+ - E_- = \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0} - \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0} = 0 \\]\n
\n

\n

\n

\n
• شرط الاتزان: القوة الكهربائية لأعلى توازن الوزن لأسفل \\(F_E = F_g \\implies q E = m g\\).
\n
• المجال للقشرة المستوية: \\(E = \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0}\\).
\n
• التعويض والحل:\n \\[ q \\left(\\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0}\\right) = m g \\implies \\sigma = \\frac{2 \\varepsilon_0 m g}{q} \\]\n \\[ \\sigma = \\frac{2 \\times (8.85 \\times 10^{-12}) \\times (10.0 \\times 10^{-3}\\text{ kg}) \\times 10.0}{0.700 \\times 10^{-6}\\text{ C}} = 2.53 \\times 10^{-6}\\text{ C/m}^2 \\]\n
\n

\n

\n

\n
• تحويل الكتل: \\(m = 200\\text{ mg} = 200 \\times 10^{-6}\\text{ kg}\\).
\n
• حساب القوة الكهربائية:\n \\[ F_E = |q| E = (4.00 \\times 10^{-6}) \\times (5.40 \\times 10^3) = 2.16 \\times 10^{-2}\\text{ N} \\]\n
\n
• حساب التسارع:\n \\[ a = \\frac{F_E}{m} = \\frac{2.16 \\times 10^{-2}}{200 \\times 10^{-6}} = 108\\text{ m/s}^2 \\]\n الاتجاه: عكس اتجاه المجال الكهربائي (باتجاه محور \\(-x\\)) لأن شحنة الجسيم سالبة.\n
\n

\n

\n

\n
• حساب التسارع التباطؤي:\n القوة عكس اتجاه الحركة لأن الشحنة سالبة:\n \\[ F_E = |q| E = (5.0 \\times 10^{-5}) \\times (3.2 \\times 10^3) = 1.6 \\times 10^{-1}\\text{ N} \\]\n \\[ a = -\\frac{F_E}{m} = -\\frac{0.16}{40 \\times 10^{-6}} = -4000\\text{ m/s}^2 = -40 \\times 10^2\\text{ m/s}^2 \\]\n
\n
• حساب زمن التوقف (\\(v_f = 0\\)):\n \\[ v_f = v_i + a t \\implies 0 = 600 - 4000 t \\implies t = \\frac{600}{4000} = 0.15\\text{ s} \\]\n
\n

\n

\n

\n
• المجال لموصل كروي مشحون: داخل الموصل الكروي المشحون يكون المجال صفراً (\\(E = 0\\)). أما خارج الكرة، فتصرف الشحنة وكأنها مركزة في نقطة بالمركز، ويقل المجال بزيادة مربع البعد عن المركز وفق \\(E = \\frac{k Q}{r^2}\\)، وخطوط المجال عمودية على سطح الكرة.\n
\n
• المجال بين صفيحتين متوازيتين: يكون مجالاً كهربائياً منتظماً ثابت المقدار والاتجاه في منطقة الحيز بين الصفيحتين (بعيداً عن الأطراف)، خطوطه مستقيمة متوازية تتجه من الصفيحة الموجبة إلى السالبة، ويُحسب مقداره بالعلاقة \\(E = \\frac{\\sigma}{\\varepsilon_0}\\).\n
\n

\n

\n

\n
• أ. الاتجاه: خطوط المجال تتجه من الصفيحة الموجبة إلى السالبة (نحو اليسار \\(-x\\)). وبما أن شحنة الإلكترون سالبة، فإن القوة والتسارع سيكونان في اتجاه معاكس للمجال، أي نحو الصفيحة الموجبة (باتجاه محور \\(+x\\) / نحو اليمين).
\n
• ب. المسار: المسار (3)؛ لأن القوة الكهربائية تتجه نحو اليمين وتكسب الإلكترون انحرافاً مستمراً نحو الصفيحة الموجبة أثناء تحركه للأسفل.
\n
• جـ. مسار البوزترون: المسار (1)؛ لأن البوزترون موجب الشحنة فتكون القوة المؤثرة عليه باتجاه المجال الكهربائي نفسه (نحو الصفيحة السالبة / اليسار \\(-x\\)).
\n

\n

\n

\n
• حساب المجال الكهربائي للقشرة:\n \\[ E = \\frac{\\sigma}{2\\varepsilon_0} = \\frac{3.00 \\times 10^{-12}}{2 \\times (8.85 \\times 10^{-12})} = 0.1695\\text{ N/C} \\]\n
\n
• حساب القوة الكهربائية:\n \\[ F_E = e E = (1.6 \\times 10^{-19}\\text{ C}) \\times 0.1695\\text{ N/C} = 2.71 \\times 10^{-20}\\text{ N} \\]\n
\n

\n

\n

\n
• أ. المجال بين الصفيحتين:\n \\[ E = \\frac{\\sigma}{\\varepsilon_0} = \\frac{7.1 \\times 10^{-7}}{8.85 \\times 10^{-12}} = 8.02 \\times 10^4\\text{ N/C} \\]\n
\n
• ب. حساب التسارع:\n \\[ F_E = q E = (2.0 \\times 10^{-7}) \\times (8.02 \\times 10^4) = 1.604 \\times 10^{-2}\\text{ N} \\]\n \\[ a = \\frac{F_E}{m} = \\frac{1.604 \\times 10^{-2}}{5.0 \\times 10^{-4}} = 32.1\\text{ m/s}^2 \\]\n
\n

\n

\n

\n
• داخل مادة الكرة الفلزية: الشحنة النقطية (\\(+Q\\)) تجذب شحنة سالبة مقدارها (\\(-Q\\)) لتستقر على السطح الداخلي للتجويف. وبإقامة سطح غاوس داخل جدار مادة الكرة الموصلة، تكون الشحنة الكلية المحتواة \\(q_{in} = (+Q) + (-Q) = 0\\)، وبالتالي فإن المجال الكهربائي داخل مادة الكرة الفلزية يساوي صفراً (\\(E = 0\\)).\n
\n
• خارج الكرة: تتراكم شحنة موجبة مقدارها (\\(+Q\\)) على السطح الخارجي للكرة بالحث. وبترسيم سطح غاوس خارج الكرة (\\(r > R\\))، فإن الشحنة الكلية المحتواة تكون \\(q_{in} = +Q\\). بالتالي، يكون المجال الكهربائي خارج الكرة مساوياً لـ \\(E = \\frac{k Q}{r^2}\\) وموجهاً للخارج مبتعداً عن المركز.
\n

\n

\n الإجابة الصحيحة: (ب) \\(\\frac{\\Phi}{l^2 \\cos 30^\\circ}\\)\n
التبرير: المساحة \\(A = l^2\\)، والزاوية المعطاة بالشكل بين المجال ومتجه المساحة هي \\(30^\\circ\\)، من القانون \\(\\Phi = E A \\cos 30^\\circ = E l^2 \\cos 30^\\circ \\implies E = \\frac{\\Phi}{l^2 \\cos 30^\\circ}\\).\n

\n الإجابة الصحيحة: (أ) \\(\\pi R^2 E\\)\n
التبرير: خطوط المجال تتجه لأسفل باتجاه (\\(-y\\))، ومتجه المساحة للوجه السفلي المفتوح نحو الخارج باتجاه (\\(-y\\))، فيكون متجه المجال ومتجه المساحة بالاتجاه نفسه (\\(\\theta = 0^\\circ\\))، وبالتالي \\(\\Phi = E A \\cos 0^\\circ = E (\\pi R^2)\\).\n

\n الإجابة الصحيحة: (جـ) \\(E\\)\n
التبرير: المجال يُحسب من \\(E = \\frac{\\sigma}{\\varepsilon_0} = \\frac{Q}{\\varepsilon_0 A}\\). عند مضاعفة الشحنة والمساحة معاً: \\(E' = \\frac{2Q}{\\varepsilon_0 (2A)} = \\frac{Q}{\\varepsilon_0 A} = E\\)، وبالتالي يظل ثابتاً.\n

\n الإجابة الصحيحة: (د) \\(E_2 = E_1\\)\n
التبرير: المجال خارج كرة موصلة يعتمد فقط على الشحنة الكلية ومربع البعد عن المركز \\(E = \\frac{k Q}{r^2}\\)، ولا يعتمد على نصف قطر الكرة طالما أن نقطة الحساب تقع خارج الكرتين.\n

\n الإجابة الصحيحة: (أ) A فقط.\n
التبرير: الجسيم A موجب وتتجه حركته لليمين باتجاه المجال نفسه، فتكون القوة الكهربائية في اتجاه سرعته مما يزيد سرعته. بينما B تتأثر بقوة عكس اتجاه حركته، و C كتلته موجبة وحركته لليسار بعكس المجال فتتباطأ سرعته.\n