• توضيح الفرق بين الجهد الكهربائي وطاقة الوضع الكهربائية

الجهد الكهربائي عند نقطة هو خاصية للمجال الكهربائي عند تلك النقطة ولا يعتمد على الشحنة الموضوعة عندها، ويعبر عن طاقة الوضع الكهربائية لوحدة الشحنات الموجبة الموضوعة عند تلك النقطة \(V = \frac{PE}{q_0}\). أما طاقة الوضع الكهربائية \(PE\) فهي الطاقة المختزنة في نظام يتكون من شحنة موضوعة عند تلك النقطة والمجال الكهربائي، وتعتمد على مقدار الشحنة والجهد الكهربائي عند تلك النقطة \(PE = qV\).

• شحنة موجبة \((+q)\) عند النقطة \(a\)
• شحنة سالبة \((-q)\) عند النقطة \(b\)
• الشحنتان تبدآن الحركة من السكون تحت تأثير المجال الكهربائي

• تحديد أي النقطتين أعلى جهداً
• تحديد اتجاه القوة الكهربائية على كل شحنة
• وصف التغير في طاقة الحركة وطاقة الوضع لكل شحنة

اتجاه خط المجال الكهربائي يكون دائماً باتجاه تناقص الجهد الكهربائي، وبما أن المجال يتجه من \(a\) إلى \(b\) فإن الجهد عند \(a\) أعلى من الجهد عند \(b\).

تتأثر الشحنة الموجبة \((+q)\) بقوة كهربائية باتجاه المجال الكهربائي \((+x)\)، بينما تتأثر الشحنة السالبة \((-q)\) بقوة كهربائية باتجاه معاكس للمجال الكهربائي \((-x)\).

تتحرك الشحنتان من السكون تحت تأثير القوة الكهربائية المحافظة فقط، مما يؤدي إلى زيادة طاقتهما الحركية مقابل نقصان مساوٍ في طاقة الوضع الكهربائية لكل منهما.

• نقل شحنة \((+q)\) من \(b\) إلى \(a\) بسرعة ثابتة
• القوة الخارجية مساوية للقوة الكهربائية وتعاكسها في الاتجاه

• إشارة شغل القوة الخارجية
• الشغل الكلي المبذول وتفسيره
• وصف التغير في طاقة الوضع الكهربائية

القوة الخارجية تؤثر باتجاه الحركة من \(b\) إلى \(a\)، لذلك فإن شغل القوة الخارجية يكون شغلاً موجباً.

بما أن الشحنة تنقل بسرعة ثابتة، فإن التغير في الطاقة الحركية يساوي صفراً \(\Delta KE = 0\)، وبحسب مبرهنة الشغل-الطاقة الحركية فإن الشغل الكلي المبذول يساوي صفراً.

يزداد مقدار طاقة الوضع الكهربائية للشحنة المنقولة بمقدار الشغل الموجب الذي بذلته القوة الخارجية عليها.

• \(1\ \mathrm{V} = 1\ \mathrm{J/C}\)
• \(1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N \cdot m}\)

• إثبات أن \(1\ \mathrm{N/C} = 1\ \mathrm{V/m}\)

نعوض وحدة الفولت \(\mathrm{V}\) بالوحدة الأساسية \(\mathrm{J/C}\) ثم نعوض الجول \(\mathrm{J}\) بالوحدة \(\mathrm{N \cdot m}\):

• \(E = 2 \times 10^4\ \mathrm{V/m}\)
• \(d_{a \rightarrow b} = 4\ \mathrm{cm} = 4 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)
• \(d_{c \rightarrow b} = 2\ \mathrm{cm} = 2 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)
• \(q = 3 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}\)

• \(V_b - V_a = ?\)
• \(V_b - V_c = ?\)
• [\Delta PE_{a \rightarrow b} = ?]

الإزاحة من \(a\) إلى \(b\) باتجاه المجال الكهربائي نفسه، بالتالي \(\theta = 0^\circ\):

الإزاحة من \(c\) إلى \(b\) متعامدة مع خط المجال الكهربائي، بالتالي \(\theta = 90^\circ\):

نستخدم العلاقة بين التغير في طاقة الوضع وفرق الجهد الكهربائي:

• \(V_c - V_b = -600\ \mathrm{V}\)
• \(d_{a \rightarrow b} = 4\ \mathrm{cm} = 4 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)
• \(d_{b \rightarrow c} = 3\ \mathrm{cm} = 3 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)

• \(E = ?\)
• \(V_c - V_a = ?\)

نعوض العلاقة بين النقاط \(b\) و \(c\) حيث الحركة باتجاه خط المجال \(\theta = 0^\circ\):

بما أن النقطتين \(a\) و \(b\) تقعان على سطح عمودي على خطوط المجال فإن \(V_a = V_b\)، ويكون فرق الجهد مساوياً لفرق الجهد بين \(c\) و \(b\):

• أربع حالات لشحنات موجبة وسالبة تحركت بين النقطتين a و b في مجال منتظم

• تحديد إشارة شغل القوة الكهربائية لكل حالة
• استنتاج التغير في طاقة الوضع الكهربائية
• استنتاج العلاقة العامة بين اتجاه الحركة والتغير في طاقة الوضع

الحالة (أ): القوة والحركة بالاتجاه نفسه \((+y)\) فالشغل موجب.
الحالة (ب): القوة والحركة باتجاهين متعاكسين فالشغل سالب.
الحالة (جـ): القوة والحركة بالاتجاه نفسه \((+y)\) فالشغل موجب.
الحالة (د): القوة والحركة باتجاهين متعاكسين فالشغل سالب.

عندما تبذل القوة الكهربائية شغلاً موجباً تقل طاقة الوضع المختزنة، وعندما تبذل شغلاً سالباً تزداد طاقة الوضع المختزنة.

• توفير دليل على أن سطح الموصل المشحون هو سطح تساوي جهد

تكون خطوط المجال الكهربائي عند سطح الموصل عمودية على السطح دائماً، بالتالي فإن فرق الجهد بين أي نقطتين على السطح يساوي صفراً \(\Delta V = -E d \cos(90^\circ) = 0\)، أي أن الجهد متساوٍ عند جميع النقاط ولا يلزم بذل شغل لنقل شحنة على السطح.

• الشكل (25/أ) لموصل غير منتظم الشكل

• تحديد المنطقة ذات الكثافة الأكبر لخطوط المجال
• تبيان دلالة ذلك

تتزاحم خطوط المجال الكهربائي وتزداد كثافتها عند الرؤوس المدببة للموصل، ويدل ذلك على زيادة الكثافة السطحية للشحنة وبالتالي كبر مقدار المجال الكهربائي عند هذه المناطق.

• الشكل (26/أ): تغير المجال الكهربائي مع البعد r لموصل كروي
• الشكل (26/ب): تغير الجهد الكهربائي مع البعد r للموصل الكروي نفسه

• مقارنة أوجُه التشابه والاختلاف بين المنحنيين

خارج الموصل \(r > R\): يقل كل من المجال والجهد بزيادة البعد \(r\).
داخل الموصل وفي مركزه \(r \le R\): المجال الكهربائي يساوي صفراً \(E = 0\) بينما الجهد الكهربائي يكون ثابتاً ويساوي جهد سطح الموصل \(V = k \frac{Q}{R}\).

• \(R = 4\ \mathrm{cm} = 4 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)
• \(V_a = 2000\ \mathrm{V}\) (النقطة a تقع داخل الموصل)
• \(d_{c \rightarrow b} = 4\ \mathrm{cm}\)
• \(q = -8\ \mathrm{nC} = -8 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}\)

• \(V_{\mathrm{sph}} = ?\)
• \(Q = ?\)
• [W_{c \rightarrow b} = ?]

بما أن النقطة \(a\) تقع داخل الموصل الكروي، فإن جهد الموصل يساوي جهد النقطة \(a\):

نعوض جهد الموصل ونصف قطره في قانون جهد الموصل الكروي:

أولاً نجد بعد النقطة \(c\) عن المركز \(r_c = R + d = 4 + 4 = 8\ \mathrm{cm} = 8 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\). ثم نجد جهد النقطة \(c\):

• جهد الكرة الموصلة عند سطحها \(V = k \frac{Q}{R}\)
• بعد النقطة عن المركز \(r = 4R\)

• جد جهد النقطة بدلالة \(V\)

نعوض بعد النقطة \(r = 4R\) في قانون الجهد خارج الكرة:

• الرسم البياني بالشكل (28)

• \(R = ?\)
• \(V_{0.2} = ?\)
• \(Q = ?\)

يظل الجهد ثابتاً عند القيمة العظمى \(100\ \mathrm{V}\) حتى يصل إلى المسافة \(r = 5 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)، بالتالي يكون نصف القطر \(R = 0.05\ \mathrm{m} = 5\ \mathrm{cm}\).

من الرسم البياني عند \(r = 20 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\) نجد أن الجهد المقابل هو \(V = 25\ \mathrm{V}\).

نعوض جهد الموصل الكروي \(Vsph = 100 V\) ونصف قطره \(R = 0.05 m\) في المعادلة:

• \(V_a = -5\ \mathrm{V}\)
• \(V_b = -4\ \mathrm{V}\)
• \(V_c = -3\ \mathrm{V}\)
• \(V_m = -2\ \mathrm{V}\)
• شحنة الإلكترون \(q_e = -1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}\)
• \(R = 9\ \mathrm{cm} = 9 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)

• \(V_b - V_c = ?\)
• \(V_b - V_a = ?\)
• [W_{m \rightarrow c}^{\mathrm{ext}} = ?]
• \(Q = ?\)

نعوض قيم الجهد الموضحة على سطوح تساوي الجهد:

نستخدم قانون الشغل المبذول بواسطة قوة خارجية لنقل شحنة بسرعة ثابتة:

جهد الموصل هو الجهد عند سطحه \(V = -5 V\) ونصف قطره \(R = 9 imes 10^{-2} m\):

• \(V_a = -5\ \mathrm{V}\)
• \(V_b = -10\ \mathrm{V}\)
• \(V_c = -5\ \mathrm{V}\)
• \(V_d = -5\ \mathrm{V}\)

• \(V_b - V_a = ?\)
• تحديد هل يلزم بذل شغل لنقل بروتون من c إلى d مع التفسير

نعوض قيم الجهد من الرسم:

تقع النقطتان \(c\) و \(d\) على سطح تساوي الجهد نفسه \(V_c = V_d = -5 V\)، بالتالي فرق الجهد بينهما يساوي صفراً \(V_d - V_c = 0\)، والشغل المبذول لنقل أي شحنة بينهما يساوي صفراً.

• وصف التغير في الجهد للحالتين

عند الانتقال باتجاه خط المجال المنتظم: يقل الجهد الكهربائي تدريجياً وبمعدل ثابت وفق العلاقة \(\Delta V = -E d \cos \theta\).

عند الانتقال من مركز موصل كروي مشحون إلى خارجه: يظل الجهد الكهربائي ثابتاً من المركز حتى السطح ويساوي \(V = k \frac{Q}{R}\)، ثم يتناقص خارج الموصل عكسياً مع البعد \(r\) عن مركز الموصل وفق العلاقة \(V = k \frac{Q}{r}\).

• \(V_a = +6\ \mathrm{V}\)
• \(V_b = -6\ \mathrm{V}\)
• \(V_c = 0\ \mathrm{V}\) (السطح المنصف P بين الشحنتين هو سطح جهد صفري)
• \(V_d = -4\ \mathrm{V}\)
• \(q = 5\ \mathrm{nC} = 5 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}\)

• تحديد النقاط التي جهدها صفر
• \(V_c - V_a = ?\) و \(V_d - V_b = ?\)
• [W_{d \rightarrow a}^{\mathrm{ext}} = ?]

جميع النقاط الواقعة على المستوى أو الخط العمودي المنصف بين الشحنتين (مثل النقطة \(c\) والنقطة \(P\)) يكون جهدها صفراً.

نعوض قيم الجهد من الرسم:

نعوض في قانون شغل القوة الخارجية لنقل شحنة بسرعة ثابتة من \(d\) إلى \(a\):

• من الرسم البياني: نصف القطر \(R = 5\ \mathrm{cm} = 5 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)
• جهد الكرة عند السطح والداخل \(V_{\mathrm{sph}} = 50\ \mathrm{V}\)
• \(q = 6\ \mu\mathrm{C} = 6 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}\)

• الجهد عند \(r = 4\ \mathrm{cm}\)
• شحنة الكرة \(Q\)
• شغل القوة الكهربائية لنقل الشحنة من مركز الكرة إلى \(r = 8\ \mathrm{cm}\)

بما أن النقطة \(r = 4\ \mathrm{cm}\) تقع داخل الكرة \((r < R)\)، فإن جهدها يساوي جهد الكرة تماماً \(V = 50\ \mathrm{V}\).

نعوض القيم في صيغة جهد الكرة عند السطح:

أولاً نجد جهد النقطة عند \(r = 8\ \mathrm{cm} = 8 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\):

• [\Delta PE = 1.8 \times 10^{-6}\ \mathrm{J}]
• \(d = 3.0\ \mathrm{cm} = 3.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)
• \(E = 2.0 \times 10^4\ \mathrm{V/m}\)

• \(q = ?\)

بما أن الشحنة الموجبة اكتسبت طاقة وضع ([\Delta PE > 0]) فإنها تحركت بعكس اتجاه المجال الكهربائي (\(\theta = 180^\circ\)):

نعوض التغير في طاقة الوضع وفرق الجهد:

• \(E = 3.0 \times 10^3\ \mathrm{V/m}\)
• \(d_{c \rightarrow d} = 3.0\ \mathrm{cm} = 3.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\)
• الزاوية بين المجال والإزاحة \(\theta = 143^\circ\) (حيث \(\cos(143^\circ) \approx -0.80\))
• شحنة البروتون \(q_p = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}\)

• \(V_d - V_c = ?\)
• [W_{d \rightarrow c}^{\mathrm{ext}} = ?]

نعوض بقانون فرق الجهد في مجال منتظم:

نعوض في قانون الشغل الخارجي لنقل البروتون بسرعة ثابتة من \(d\) إلى \(c\):

• إلكترون وبروتون انطلقا من السكون بين صفيحتين

• اختيار الإجابة الصحيحة

التغير في الطاقة الحركية يعطى بالعلاقة \(\Delta KE = |q \Delta V|\). وبما أن شحنة الإلكترون وشحنة البروتون متساويتان في المقدار \(|q_e| = |q_p|\) وكلاهما يقطع نفس فرق الجهد \(\Delta V\) بين الصفيحتين، فإن كلاً منهما يكتسب نفس مقدار الطاقة الحركية.

• الجسيم الأول: كتلة \(m\)، شحنة \(q\)، فرق جهد \(\Delta V\)، سرعة \(v\)
• الجسيم الثاني: كتلة \(m/2\)، شحنة \(2q\)، فرق جهد \(2\Delta V\)

• حساب السرعة النهائية للجسيم الثاني بدلالة \(v\)

من مبدأ حفظ الطاقة للجسيم الأول:
\(\frac{1}{2} m v^2 = q \Delta V \implies v = \sqrt{\frac{2 q \Delta V}{m}}\)
وللجسيم الثاني:
\(v' = \sqrt{\frac{2 (2q) (2\Delta V)}{\frac{m}{2}}} = \sqrt{\frac{16 q \Delta V}{m}} = 4 \sqrt{\frac{2 q \Delta V}{m}} = 4 v\)

• زيادة الطاقة الحركية للإلكترون \(\Delta KE = 6.4 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}\)
• شحنة الإلكترون \(q = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}\)

• تحديد مقارنة الجهد بين الصفيحتين X و Y

الإلكترون شحنته سالبة وتتحرك القوة الكهربائية عليه عكس اتجاه المجال من الجهد المنخفض إلى العالي، فتكون الصفيحة \(X\) ذات جهد أقل من الصفيحة \(Y\).
مقدار فرق الجهد:
\(|\Delta V| = \frac{\Delta KE}{e} = \frac{6.4 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4\ \mathrm{V}\)

• سطوح تساوي الجهد: \(0\ \mathrm{V}\), \(20\ \mathrm{V}\), \(40\ \mathrm{V}\) عمودية على محور x

• تحديد اتجاه المجال الكهربائي

يتجه المجال الكهربائي عمودياً على سطوح تساوي الجهد وباتجاه تناقص الجهد (من 40V إلى 20V إلى 0V)، وهو اتجاه محور \(-x\).

• \(V_a = 40\ \mathrm{V}\)
• \(V_b = 40\ \mathrm{V}\)
• \(V_c = 0\ \mathrm{V}\)

• تحديد المسار الذي تزداد فيه طاقة الوضع للشحنة السالبة

تزداد طاقة الوضع لشحنة سالبة ([\Delta PE = q \Delta V > 0]) عند نقلها إلى نقطة ذات جهد أقل (لأن \(q < 0\) فيكون \(\Delta V < 0\) لتكون النتيجة موجبة).
عند الانتقال من \(b\) (\(40\ \mathrm{V}\)) إلى \(c\) (\(0\ \mathrm{V}\)):
\(\Delta PE = (-q) \times (0 - 40) = +40 q > 0\)